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やさしく数学を
第7回 1.等差数列の不思議
2.等差数列の公式
3.今後のメルマガの方針について
4.他のメルマガ宣伝
～このメルマガでは物足りない方へ～
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＃今までいい忘れてましたが、本メールマガジンは
＃「等幅フォント」でご覧下さい。
＃ そうでない場合はずれてしまう場合があります。
＃ OutlookExpressをご使用の方でずれてるなって思ったら、
＃ 上の「表示」→「文字のサイズ」→「等幅」でなおります？(未確認)
皆様、こんにちは。
最近、ウィルスやデマウィルス情報やらいろいろ流行っております。
皆さんのお体も、皆さんのＰＣも病気にならないよう気をつけてください。
なお、本日で数列シリーズは最終回です。
等比数列は、リクエストが多ければ別途後日やることにします。
話は突然変わって、最近、やさしく数学を専用掲示板、
http://bbs11.otd.co.jp/1103846/bbs_thread
にて、いろいろな書き込みがあって嬉しいです。
特に、嬉しかった書き込みが本日のテーマです。
その書き込みとは、「ろってんまいあ」さんより頂いた
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「ゼロから数えてｎ個目までの奇数の総和はｎの二乗に等しい」
これって証明できるのでしょうか？
例1）1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 = 10^2 = 100
例2）1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25+27+29+31+33+35+37+39 = 20^2 = 400
なんとなく不思議でしょ？
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です。
このメルマガで、等差数列をやって、こいう事実に目が留まる
という行動をしていただいたと言うのは、このメルマガを書いてて
よかったなーって感じます。
この「不思議だな」という感覚は是非大切にしてください。
ということで、本日はこれをテーマにしていきたいと思います。
１．等差数列の不思議
まず、
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「ゼロから数えてｎ個目までの奇数の総和はｎの二乗に等しい」
これって証明できるのでしょうか？
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ということを考える前に、皆さんも実際にｎに適当な値を入れて
成り立つことを確認してみてください。
いろいろ、自分の手で(計算して)実感してみると言うのは、
とっても大切です。(数学に限らず)
では、手始めにｎ＝１１でやってみましょう。
すなわち、
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21
を計算してみましょう。
前回の、話を思い出せば、これは、足す順序を逆にした
21+19+17+15+13+11+ 9+ 7+ 5+ 3+ 1
を補助的に以下のように用いて、
1+ 3+ 5+ 7+ 9+11+13+15+17+19+21
+)21+19+17+15+13+11+ 9+ 7+ 5+ 3+ 1
----------------------------------
22+22+22+22+22+22+22+22+22+22+22
となる。
ここで「２２」が何個あるか数えると、それは
当然ｎ＝１１個となる。
したがって、
２２×１１(個)÷２
(ここで「割る２」をしたのは、正規の順序で足したものと
逆の順序で足したものの２こあるからであることに注意する)
となり、１１×１１となることが分かる。
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さて、前回の練習問題でも述べたように、一般に奇数と言うものは
(k=1,2,3,4,5・・・・)としたときに
2k - 1
で表現される。
＃kに2がついているのでkが１増加するごとに「2K-1」は２増えてる
＃ということには注意しましょう。
ここで、ｎ番目まで足し算することを考える。
すなわち、
n
Σ(2k - 1)
k=1
を求めることになる。
再び、例の手法を使用することにより、
1 + 3 + 5 + ・・・・・・・・ + 2n-3 + 2n-1
+)2n-1+ 2n-3 +2n-5 + ・・・・・・・・ + 3 + 1
---------------------------------------------------
2n + 2n + 2n + 2n + 2n
とかけることが納得していただけるだろうか？
そして、「2n」の個数はそもそもｎ個足してたのだから当然ｎ個となる。
したがって、
２ｎ×ｎ(個)÷２
＝ｎ×ｎ
＝ｎ＾２(ｎの２乗)
となることが分かる。
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２．等差数列の公式。
もう、ここまで来てしまえば「公式」というよりは下記は
当たり前のこととなるだろう。
下記は、いわゆる等差数列の公式と呼ばれるものである。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
★公式★
(初項)＋(最後の項)
等差数列の和 ＝ -------------------×(項数)
２
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
この公式について、簡単に説明します。
ちなみに上記式は分数の形となっており。
(初項)＋(最後の項)は、いわゆる
「正規の順序に並べた数列」と「順序を逆にして足した数列」
を縦に足し算する行為になる。
イメージをきちんと持ってこの式を理解できた人は、もう今後ずっと
この公式はおそらく一生忘れないものとなるだろう。
また、そうなっていただけると非常に嬉しいです。
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３．今後のメルマガについて。
何回かメールマガジンを発行してみて、どんなメールマガジンが
望まれてるのか、探りながら今までは出していた感があります。
そこで、感じるものがあって、今後は、メルマガの形式を
多少変えていこうかなと思っています。
とりあえず、いろいろ皆さんから頂いた疑問を取り上げながら
と言う形を取っていこうと思っています。
そして、基本的には連載形式ではなく読み切り形式に
変えていきたいと思っています。
もちろん、皆様のご意見・ご希望・ご質問は年中無休で募集しておりますので
どしどしお便りください。
今後も数学の面白さや楽しさを伝えられるようなメールマガジンを目指して
頑張っていきたいと思ってますのでよろしくお願いします。
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４．メルマガ宣伝
このメールマガジンでは、やさしすぎて物足りないという方に
お知らせです。
私の掲示板でもちょくちょく登場して頂いてるシャイン☆結希さん
が作成するメールマガジンです。
シャインさんは、現在「有限群論」という代数学を現役でやられてる方です。
というわけで、代数的な話(大学レベル)や中高生向けのちょっと高度な
数学の問題とかを取り上げてます。
＃ただし、数学が苦手という人はちょっとお勧めできないかもしれません。
掲示板なんかも充実してます。
メルマガ購読希望はこちらから：http://www.mag2.com/m/0000060161.htm
Ｗｅｂ・掲示板はこちらから：http://yuki.to/
なお、シャインさんのメールマガジンでは、
28日いっぱい締め切りの読者プレゼントを実施しているそうです。
＃このメールマガジンでも負けずに読者プレゼント企画してみようかな。
P.S.ちょっと頑張って平日に書いてみました。
