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やさしく数学を
第3回 1.等差数列を数式で
2.前回の訂正
3.本メルマガの意図
4.数学に関するHP紹介
5.掲示板の投稿紹介
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まぐまぐにて「今月のお勧めメルマガ」にて本メルマガが紹介されました。
そのおかげもあって、購読者も一気に3倍近く膨れ上がり、現在は3500人を超え
る読者数にになりました。
たいしたメルマガではないですが、今後とも心温かいご支援のほど
よろしくおねがいします。
なお、今回初めて購読される方は、文末のurlより過去ログをご覧になってから
読むことをお勧めします。
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数学嫌いの原因として、ひとつあげられるのが、
教科書とかは、公式・数式を「重要」と囲うので、皆が
それだけを覚え、その式自体が持つ意味を考えないことも
一つとしてあげられると思います。
意味を持たないものは当然、すぐに忘れてしまうし、
忘れてしまった結果、分からなくなる。
意味もなく、ただ単に公式に適用するだけの作業が
面白いわけもありません。
そんな感じで、数学がつまらなくなる。と言うパターンが
多いような気がします。
今回は、前回までの説明を「数式化」してみます。
式を見たときには
「意味を考える」
ということが重要であると言うことは強調しておきます。
(いわゆる公式と言うものを見た時は、決して文字だけで覚えようとしないで下さい。)
上っ面よりも中身が大切です。
ここらへんを心に留めながら、本題に入りることにします。
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１．等差数列を式で表現する。
前回は等差数列の概念についてやりました。
前回は、なるべく言葉での説明を心がけました。
今回は、それをやや数学的な表現で書き直します。
今回大切なのは、「式の意味を考える癖をつける」
ということです。
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「1番目の数(初項)は1、隣り合う数の差(公差)は２」
という条件があれば、
１，３，５，７，９，１１，１３，１５、・・・・・・
と数列を構成できる。
ここで、「初項」「公差」というの初めて出てきた言葉である。
これは、数学的によく使われる言葉ということを補足しておくが、
本来の意味を失わないようにはしてもらいたい。
どのようにこれらは求められたかと言うと
(2番目の数)＝(1番目の数)＋２
(3番目の数)＝(2番目の数) ＋２
＝(1番目の数)＋２＋２
(1番目の数に２を2回足し算する)
(4番目の数)＝(3番目の数) ＋２
＝(2番目の数)＋２ ＋２
＝(1番目の数)＋２＋２＋２
(1番目の数に２を2回足し算する)
これでは、多少分かりにくいかもしれない。どういう意味か別の角度から見てみる。
等差数列は、説明の都合上、縦に書いてみると書きのような構造となっている。
1番目：１
↓ ＋２
2番目：３
↓ ＋２
3番目：５
↓ ＋２
4番目：７
↓ ＋２
5番目：９
↓ ＋２
6番目：１１
↓ ＋２
7番目：１３
↓ ＋２
8番目：１５
(上記イメージ図の意味は↓で次の数に進むときに２を加えているという、まぁ隣り合う
項の関係を表したものです。)
上の図を見れば、4番目の数を求めるためには
初項(1番目の数)に公差(隣り合う数の差)を3回足す事が分かる。
また、8番目の数を求めるためには
初項(1番目の数)に公差(隣り合う数の差)を7回足す事が分かる。
そして、もっと先の数20番目の数を求めてみよう。
そのためには、上の矢印の数を数える行為が必要になる。
20番目の数と1番目の数との間には何個の矢印が入るか？？
ここで、上記例を元に、各自に「○番目」は「何回足せばいいのか」考えていただきたい。
(要するに、上記例では、矢印「↓」を数える行為になる)
なお、ここで強調しておきたかったことは、
・ 初項(1番目の数)
・ 公差(隣りあう数の差)
の2つが分かれば、○番目の数が求められると言うことである。
では、ここで、ちょっと数学っぽく一般化してみる。
・ 初項(1番目の数)をaとする。 (aにはある数字が入る)
・ 公差(隣りあう数の差)をdとする (dにもある数字が入る)
そうすると、具体的にやった場合と同様に
1番目：a
↓ ＋d
2番目：a+d
↓ ＋d
3番目：a+2×d (=a+d+d)
↓ ＋d
4番目：a+3×d (=a+d+d+d)
↓ ＋d
5番目：a+4×d (=a+d+d+d+d)
↓ ＋d
6番目：a+5×d (=a+d+d+d+d+d)
↓ ＋d
7番目：a+6×d (=a+d+d+d+d+d+d)
↓ ＋d
8番目：a+7×d (=a+d+d+d+d+d+d+d)
それでは、ｎ番目の数を式で表そう。
イメージ的には、上記イメージを利用して
(ｎ番目の数)＝(1番目の数)＋("↓"矢印の数)×(隣り合う数)
別の言い方をすると、
(ｎ番目の数)＝(初項)＋(ｎ番目に行くまでdを加えた数)×(公差)
したがって、n番目の数をa_nとし、初項をa、公差をｄとしたときに、
a_n= a＋(n－1)×d
となる。ここで(n-1)は(n番目‐1番目)をする事によって矢印「↓」の数を求めたものである。
繰り返しになるが、この式の意味は見失わないでもらいたい。
「ｎ番目の数を求めるためには、初項aに(n-1)回dを加えた」
と言う意味である。
★今回のポイント★
式の意味は見失わないようにしよう。
そして、式自体を覚えることよりも意味を理解する方を
重点においてもらいたい。
意味もなく覚える行為のほうが、一時的にははるか「楽」だが、長い目で見ると
この行為自体は、後で苦しくなる。
●確認問題●
上記公式
a_n= a＋(n－1)×d
を、初項が１、公差が２の場合(一番最初の例に同じ)に適用してみて、
結果が同じものになることイメージ図とともに確認せよ。
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２．前回の訂正
前回、の文章内で
１，２，３，４，５，６，８，９，１０，１１、・・・・・・
という数列を書きましたが、これは
１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０，１１、・・・・・・
の誤りです。ここで悩んでしまった方は大変申し訳ありませんでした。
＃あと、変だなって悩んだら気楽に掲示板やメールで問い合わせてください
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３．本メルマガの意図
私は、現状の日本の「理系離れ」の問題を
深刻なものと捕らえています。
理科系の知識や技術は、新しいものを生み出すのには必需です。
世の中当たり前なもののほとんど(例えば携帯電話やTV等々)
も理科系の知識や技術の結晶といってもいいくらいです。
今後、新しいものを生み出すためにはこのような状況って
あまり好ましくないと個人的には感じてます。
そして、新しいものを生み出す行為は、経済的な面から見ても
プラスになると個人的には思ってます。
「数学離れ（＝理系離れ）と言うのを少しでも減らしたい」
と言うのが私の本当の気持ちであり、本メルマガの真の意図であります。
今後とも本メルマガをよろしくお願いいたします。
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４．HP紹介
本、メールマガジンの読者でもある、安部さんという方のHPを紹介します。
ここは、このメールマガジンとも趣向が似てると思いますので、まだ、ご存じない方は
一度、ご覧になってはいかがでしょうか？？
数学関連小ネタ集(生活に関わる数学等々のお話)
数学に関するコラム、数学嫌いの直し方
等々たくさんのコンテンツがあります。
アドレスは
http://www5a.biglobe.ne.jp/~bebeshi/main.htm
です。
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５．掲示板より
前々回あたり、お勧めの数学の本の募集を致しましたが、本メルマガ掲示板にて
butanosukeさんより「おもしろかった数学小説」について教えて欲しいと言うような
書き込みがありました。
皆さんが読んだ、「数学者の生き様」を描いたような本に興味があり、
お勧めがありましたら、是非書き込みよろしくおねがいします。
掲示板には、その他、ご意見ご感想、間違いの指摘等々気軽に書き込んで
行ってください。私の方からも出来る限り返信いたします。
