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やさしく数学を
第11回 1.等比数列について
2.前回の頭の体操のコーナーの解答
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皆様、こんにちは。
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１、等比数列とは？
等比数列という概念は実は、日常よく出てくる。
まず、銀行の利息や金融会社の利息はいずれも等比数列なのです。
(但し、利率は固定であると仮定していることに注意)
等比数列の概念を理解するということは、例えば、
借金する上での考慮の材料にもなるし、判断材料にも
なります。
また、ここらへんは、保険やさんが自動車事故の起こる確率を
つかって、保険金・掛け金を設定するという部分にも関連しています。
(ここらへんは確率の分野とも関係します。)
また、貯金の利子、資産管理をする上でのセンスの一つとして
用いられることも考えられます。
この等比数列というのは、日常生活と密着していて、よく出てくる
ものなんだなという認識を最初に持って話を聞いてください。
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|ここで、等差数列の理解はそれほど必要ではないが、等差数列を |
|忘れてしまった方や、途中からの読者の方々には、過去ログの |
| |
|http://www.02.246.ne.jp/~suzuki-t/math/ |
| |
|を見ることをお勧めします。 |
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数列という概念を簡単に振り返ると、それは、「単なる数の並び」であった。
そして、等差数列とは、その「並んだ数の隣り合う項の差が【一定の数】である」
ということであった。
例えば、
１，３，５，７，９，１１、・・・・
というのは、「隣り合う項の差」が２の等差数列である。
(詳細は、過去ログで復習してください)
では、等比数列とはいったいどんな数列なのだろうか？
例えば、定期預金として
・利率は２％
・1年複利方式
という条件で100万円を預けたとしよう。
初年度は、元金のままなので 1,000,000円
2年目は、100万円に利息の２％が加算されるので1,020,000円
3年目は、2年目の金額に２％が加算されるので 1,040,400円
4年目は、3年目の金額に２％が加算されるので 1,061,208円
5年目は、4年目の金額に２％が加算されるので 1,082,432円
6年目は、5年目の金額に２％が加算されるので 1,104,080円
7年目は、6年目の金額に２％が加算されるので 1,126,162円
8年目は、7年目の金額に２％が加算されるので 1,148,685円
9年目は、8年目の金額に２％が加算されるので 1,171,659円
10年目は、9年目の金額に２％が加算されるので 1,195,092円
というような感じになる。
この金額の部分の数字を並べる事によって、それは数列になっている。
そして、実は、この数列の並びは等比数列になっている。
等差数列は、隣り合う数の【差】が一定だったのに対し、
等比数列は、隣り合う数の【比】が一定という説明になる。
【比】が一定であるというのを別の言葉で説明すれば、下記のようになる。
後の数
★２つの数が順番に並んでたときに、(後の数)÷(前の数) ＝ ---------
前の数
というのを比と考えることが出来る。
上記例の場合の【比】は、一定の数、1.02＝(利率)になってることも
確認してもらいたい。
★また、同じ事だが、こちらの方が理解しやすいかもしれない。
下記のように、数字を初年度のものから順番にずらりと並べる。
1,000,000円
↓ ×1.02
1,020,000円
↓ ×1.02
1,040,400円
↓ ×1.02
1,061,208円
↓ ×1.02
1,082,432円
↓ ×1.02
1,104,080円
↓ ×1.02
1,126,162円
↓ ×1.02
1,148,685円
↓ ×1.02
1,171,659円
↓ ×1.02
1,195,092円
というように、次の項に行く度に1.02を掛け算する。
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
★このように、次の数へと移り行く度に、ある一定の数を掛け算する★
★というような数列を等比数列というのである。 ★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
ここは、重要な概念であるので是非理解してもらいたい部分である
例として、最初の数が１で始まり、隣り合う数の比が２
であるような数列を考える。
それは、上記例と同じように、下記のような感じになるのも
理解していただけるであろうか。
１，２，４，８，１６，３２，６４，１２８，２５６，５１２，１０２４、・・・
より詳細に書くと、下記のような構造になっている。
１
↓ ×２
２
↓ ×２
４
↓ ×２
８
↓ ×２
１６
↓ ×２
３２
↓ ×２
６４
↓ ×２
１２８
↓ ×２
２５６
↓ ×２
５１２
↓ ×２
１０２４
★★まとめとポイント★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
★等比数列とは、隣り合う数の比が一定。つまり ★
★次の数に移る時に、「×(一定の数)」を繰り返し繰り返し ★
★行って出来るような数列のことである ★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
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２、前回の頭の体操のコーナーの解答。
●問題●
3次元の空間、すなわち我々が日常生活住んでる空間を考える。
ある１点を決定して、そこから線分を引くことを考える。
2つの「線分」を取り出したときに、そのなす角がすべて90度を
超えるようにしたい。
この条件を満足するような線分は最大何本引けることが可能となる
でしょうか？
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正解は、実は4本です。
というわけで、解けなかった方へもう一度問題です。
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●問題●
3次元の空間、すなわち我々が日常生活住んでる空間を考える。
ある１点を決定して、そこから線分を引くことを考える。
2つの「線分」を取り出したときに、そのなす角がすべて90度を
超えるようにしたい。
この条件を満足するような線分は最大４本引けることが可能となる
が、この4本を実際に引いてみよ。
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(ヒントは前々回のものを参考にして下さい)
なお、これ以上の解答はメールマガジン上ではしないつもりです。
(質問は個別には受け付けます。)
皆さんの想像力を生かして、解答をしてみて下さい。
